Capítulo V – Multiplicación y división.

Índice:

La capacidad de multiplicar y dividir es uno de los hitos de la educación matemática del niño. Permite no solo realizar cálculos con mayor soltura, sino también resolver problemas de enunciado, analizar datos, pensar de forma lógica y planificar acciones en la vida cotidiana.

A los niños en la etapa de la educación temprana, la multiplicación puede resultarles bastante difícil. Requiere ya un pensamiento algo abstracto, que no les resulta fácil visualizar, sobre todo con valores numéricos más altos.

La división es, para los niños, una actividad natural. Desde los primeros años aprenden a dividir observando cómo se corta, se reparte y se clasifica. Podría parecer que estas destrezas harían que realizar operaciones numéricas de división fuera el desafío matemático más fácil de dominar. Sin embargo, en el mundo de las matemáticas se topan con dificultades causadas por trasladar esas destrezas a operaciones matemáticas abstractas realizadas con los números en sí.

Los alumnos de 7 a 9 años aprenden mejor mediante la actividad, el juego, la manipulación y la observación. Por eso, en este capítulo utilizamos las piezas de construcción: una herramienta que encaja perfectamente con estas necesidades. Los niños pueden formar físicamente grupos, repartirlos, construir disposiciones repetidas, observar relaciones y sacar conclusiones.

Gracias a los distintos tipos de piezas —engranajes, cilindros, plataformas y conectores—, los niños no solo comprenden la estructura de las operaciones matemáticas, sino que también se implican en el proceso de aprendizaje a muchos niveles: motor, visual, auditivo y verbal.

Al finalizar el trabajo con este capítulo, el alumno:

  • Comprende la multiplicación como una suma reiterada, p. ej., 3 × 2 es tres veces dos.
  • Comprende la división como el reparto de un todo en partes o grupos iguales.
  • Construye modelos de operaciones de multiplicación y división con piezas.
  • Realiza operaciones sencillas de multiplicación y división mentalmente o con ayuda de objetos concretos.
  • Escribe las operaciones mediante los símbolos matemáticos: ×, ÷, =.
  • Resuelve problemas de enunciado sencillos en los que utiliza la multiplicación o la división.
  • Compara los resultados de las operaciones, analizando cuáles son mayores/menores.
  • Aplica las operaciones inversas (multiplicación–división) y percibe la relación entre ellas.
  • Completa los elementos que faltan en una operación (p. ej., _ × 3 = 12; 16 ÷ _ = 4).

Aplica la división con resto y sabe representarla con objetos concretos.

1. Introducción a la multiplicación

Objetivo didáctico: Comprender el concepto de multiplicación.
Materiales: piezas de construcción, fichas de trabajo con operaciones.
Desarrollo:
El docente construye tres torres idénticas, cada una con dos engranajes. Pide a un alumno que diga cuántas torres hay y que después escriba la cantidad en la pizarra. El docente pide a otro alumno que cuente cuántos engranajes hay en una torre y lo escriba en la pizarra. El docente dice que tiene tres torres iguales, que en cada torre hay dos engranajes, y pregunta a los alumnos cuántos engranajes hay en todas las torres. Escribe la operación 3∙2=6. Explica a los alumnos lo que significa el signo de multiplicación.
El docente da un ejemplo más (p. ej., 4∙3=12), subrayando que las torres son iguales.
El docente divide a los niños en grupos; cada pareja recibe un juego y fichas de trabajo con operaciones para resolver. Los niños construyen torres y resuelven las tareas.

2. Juegos de multiplicación en las plataformas

Objetivo didáctico: Afianzar la multiplicación mediante la suma.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente construye con plataformas una alfombra 8×8. A continuación, coloca en la primera fila tres engranajes y pregunta a un alumno cuántos engranajes hay en la alfombra; escribe la operación en la pizarra (tres engranajes en una fila, 1∙3=3). Después retira los engranajes y coloca cuatro engranajes en la primera fila y cuatro en la segunda, diciendo: tenemos cuatro engranajes en la primera fila y añadiremos una segunda fila con la misma cantidad de engranajes, es decir, dos filas de cuatro engranajes, 2∙4=8. El docente muestra otros dos ejemplos (p. ej., 5∙4=20 y 8∙3=24).
El docente divide a los niños en equipos de cuatro personas; cada equipo recibe fichas de trabajo. Los niños construyen una alfombra 8×8 y numeran las filas y las columnas. Los niños resuelven las tareas colocando en la alfombra la cantidad correspondiente de engranajes en las filas y las columnas, conforme a la notación de la operación.

3. Intercambio de torres

Objetivo didáctico: Comprender la conmutatividad de los factores en la multiplicación.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente construye tres torres formadas por dos engranajes: la primera con engranajes rojos, la segunda con azules y la tercera con amarillos. Pregunta a los niños cuántas torres hay, cuántos engranajes hay en cada torre y cómo escribiremos la ecuación. Un niño escribe la ecuación en la pizarra (3∙2=6). A continuación, el docente reconstruye las torres de manera que resulten dos torres iguales de tres engranajes cada una, con cada engranaje de la torre de un color distinto. El docente muestra las torres a los niños y les pide que comprueben si la cantidad de engranajes de ambas torres no ha cambiado. Explica que, de tres torres, ha construido dos, pero con los mismos engranajes, por lo que 2∙3=6. El docente da otros dos ejemplos sencillos que explican la cuestión de la conmutatividad de los factores en la multiplicación.
El docente divide a los niños en parejas; cada pareja recibe un juego y fichas de trabajo con operaciones para resolver. Los niños construyen y reconstruyen torres y resuelven las tareas.

4. Intercambio de columnas y filas

Objetivo didáctico: Comprender la conmutatividad de los factores en la multiplicación.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente construye una alfombra 8×8, coloca en ella cinco engranajes en la primera, la segunda y la tercera fila, y pide a un niño que cuente los engranajes y escriba la operación (3∙5=15). A continuación, el docente retira los engranajes y los distribuye de cinco en cinco en la primera, la segunda y la tercera columna, y pide a un niño que cuente los engranajes y escriba la operación (5∙3=15).
El docente divide a los niños en equipos de cuatro personas; cada equipo recibe dos juegos y fichas de trabajo. Los niños construyen una alfombra 8×8 y numeran las filas y las columnas. Los niños resuelven las tareas colocando en la alfombra la cantidad correspondiente de engranajes en las filas y las columnas, conforme a la notación de la operación.

5. Multiplicación de colores

Objetivo didáctico:
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente coloca en la pizarra imágenes de cuatro engranajes, cada uno de un color distinto. A cada engranaje le asigna un valor numérico determinado, p. ej.: – engranaje rojo = 3 – engranaje azul = 5 – engranaje morado = 6 – engranaje amarillo = 7.
A continuación, el docente pide a un alumno que saque al azar un engranaje; él mismo saca al azar un segundo engranaje y se lo entrega al alumno para que lo sostenga en la otra mano; el alumno escribe en la pizarra los valores correspondientes a ambos engranajes y el resultado de la multiplicación.
El docente divide a los niños en parejas; cada pareja recibe varios engranajes de distintos colores. Los niños sacan engranajes al azar por turnos, igual que en la dinámica alumno-docente (un niño coge un engranaje, el otro elige el suyo y se lo entrega al primero); el primer alumno calcula el resultado y se lo dice al segundo, que comprueba si es correcto.

6. Introducción a la división

Objetivo didáctico: Comprender el concepto de división.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente construye una torre con ocho engranajes. Se la muestra a los niños y escribe en la pizarra 8; a continuación, divide la torre en dos partes iguales de cuatro engranajes y pregunta a los niños en cuántas torres ha dividido la torre grande y cuántos engranajes tiene cada una; escribe en la pizarra la ecuación 8:2=4. Explica a los niños el signo «:». Después vuelve a montar la torre de ocho engranajes, pero esta vez la divide en cuatro torres de dos engranajes cada una. Pide a los niños que cuenten las torres y digan de cuántos engranajes está formada cada una; escribe la ecuación 8:4=2.
El docente divide a los niños en parejas. El docente dice el número de elementos que los niños deben coger juntos del recipiente y el número de grupos que deben formar (en cada grupo debe haber la misma cantidad de piezas).
Variantes:
Los niños se sientan de espaldas uno al otro y ejecutan a la vez las instrucciones propuestas por el docente, p. ej.:

  • construye una torre con 6 engranajes y divídela en 3 partes iguales; ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?
  • construye una torre con 12 engranajes y divídela en 4 partes iguales; ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?
  • construye una torre con 4 cilindros y divídela en 2 partes iguales; ¿cuántos cilindros habrá en cada parte?
  • construye una torre con 9 engranajes y divídela en 3 partes iguales; ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?

7. División con resto

Objetivo didáctico: Explicar el concepto de resto en las operaciones de división.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente señala una caja en la que hay 22 cilindros y pide a tres alumnos que se los repartan entre ellos. Los alumnos llegan a la conclusión de que no pueden repartir las piezas de forma equitativa. El docente escribe la operación 22:3 y explica a los niños lo que significa la división con resto. A continuación, pide a un alumno que añada a los 22 los cilindros necesarios para que se puedan repartir equitativamente entre tres personas, y que escriba la ecuación.
El docente divide a los niños en parejas; cada pareja recibe una ficha de tareas con divisiones. Usando los cilindros, los niños resuelven las ecuaciones y anotan los resultados de las operaciones con resto y sin resto.

8. ¿Cuál es el divisor?

Objetivo didáctico: Ejercicios de división.
Materiales: cilindros.
Desarrollo:
En parejas, los niños reciben fichas de trabajo con ecuaciones en las que el divisor está sustituido por la imagen de un engranaje de color. Ayudándose con los cilindros, los niños deben asignar el valor correcto del divisor al color del engranaje de la imagen. El docente informa de que el divisor es, dicho de otro modo, la información sobre en cuántos grupos hay que repartir la cantidad total de piezas.

9. Conmutatividad de la multiplicación y la división

Objetivo didáctico: Comprender el concepto de conmutatividad de la multiplicación y la división.
Materiales: piezas de construcción.
Desarrollo:
El docente tiene preparada una torre de doce engranajes, la coloca en la plataforma y escribe en la pizarra la ecuación 12:4=3 (pide a un alumno que diga el resultado). El docente divide la torre de engranajes en cuatro partes; a continuación, pide a un alumno que diga cuántas torres ve y de cuántos engranajes están formadas. Escribe en la pizarra la operación 4∙3; después pide a un alumno que diga cuántos engranajes hay en total, y escribe 12. De forma análoga, el docente presenta las operaciones 15:5=3, 5∙3=15, etc. Y explica a los alumnos que el resultado de una división se puede comprobar mediante la multiplicación.

10. División construyendo grupos (división entre 4)

Objetivo: La división como formación de grupos iguales.
Elementos necesarios: engranajes, plataforma.
Desarrollo:
El alumno recibe 12 engranajes y tiene que repartirlos por igual en 4 salientes de la plataforma. Conclusión: 12 ÷ 4 = 3.
Variantes:

  • Cambiar el número de grupos.
  • División «inexacta»: p. ej., 13 ÷ 4, y comentar el resto.

11. Reparto del equipo

Objetivo: Dividir asignando elementos.
Elementos necesarios: 12 cilindros, tarjetas con el número de niños por grupo.
Desarrollo:
El alumno tiene 12 «miembros del equipo» (cilindros). Los divide, p. ej., en 3 equipos de 4 personas. Después, en 4 equipos de 3 personas.
Variantes:
– Los alumnos averiguan cuántos miembros tiene un equipo en distintos deportes de equipo (p. ej., fútbol, voleibol, baloncesto, fútbol sala, rugby, etc.), eligen tantas piezas como miembros tiene el equipo y comprueban si esos equipos se pueden dividir en varios grupos.

12. La máquina multiplicadora de engranajes

Objetivo: Reforzar la automatización de las tablas de multiplicar.
Elementos necesarios: engranajes, una plataforma como máquina (5 plataformas colocadas una al lado de otra).
Desarrollo:
Trabajo en parejas / grupos. El grupo elige un número (p. ej., 5) y construye un «autómata» con 5 engranajes que giran en fila. Después coloca sobre cada engranaje otros 3: 5 × 3 = 15. Cuenta el número de piezas.
Variantes:
– Juego en equipo: quién «produce» más rápido el resultado de la operación indicada por el docente.

13. Construir según la operación

Objetivo: Crear modelos matemáticos.
Elementos necesarios: piezas de construcción.
Desarrollo:
El alumno saca al azar un papelito con una operación (p. ej., 6 ÷ 2). Debe construir una estructura con 6 elementos y dividirla por igual en 2 partes.
Variantes:
– Añadir una descripción verbal: «La estructura tiene 6 partes, cada grupo tiene…».
– Inventar operaciones para las propias construcciones.

14. Juego «¿Quién tiene más?»

Objetivo: Comparar los resultados de las operaciones de multiplicación y división.
Elementos necesarios: juegos de piezas, papelitos con operaciones.
Desarrollo:
En parejas, los niños sacan al azar operaciones, las realizan con las piezas y comparan el resultado: ¿quién tiene más?

15. Ecuaciones con piezas

Objetivo: Completar los datos que faltan en una operación.
Elementos necesarios: engranajes, papelitos, p. ej.: _ × 4 = 16.
Desarrollo:
El alumno intenta hallar el valor que falta mediante la construcción: p. ej., dispone 4 piezas en grupos hasta llegar a 16.
Variantes:
– Completar divisiones: 24 ÷ _ = 6.
– Juego en equipo: adivina qué falta. Un grupo muestra la operación en una tarjeta y lo que ha construido. La tarea de otro grupo consiste en descubrir qué falta (p. ej., una torre entera o engranajes en las torres); p. ej., un grupo tiene la operación 5*4=20, pero con las piezas se han construido cinco torres de tres piezas.

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