Capítulo V
Multiplicación y división
¿Por qué conviene enseñar a multiplicar y dividir mediante la acción?
La habilidad de multiplicar y dividir es uno de los hitos de la educación matemática del niño. Permite no solo calcular con más soltura, sino también resolver problemas verbales, analizar datos, pensar de forma lógica y planificar acciones en la vida cotidiana.
A los niños en la etapa de educación primaria la multiplicación puede resultarles bastante difícil. Ya exige un pensamiento un tanto abstracto, que no les resulta fácil visualizar, sobre todo con valores numéricos altos.
La división es algo natural para los niños. Desde muy pequeños la aprenden observando cómo se corta, se reparte y se clasifica. Parecería que esas habilidades harían de las operaciones de división el reto matemático más fácil de dominar. Sin embargo, en el mundo de las matemáticas tropiezan con dificultades al traducir esas habilidades a operaciones abstractas realizadas solo con números.
El alumnado de 7-9 años aprende mejor mediante la actividad, el juego, la manipulación y la observación. Por eso en este capítulo usamos bloques: una herramienta que encaja a la perfección con esas necesidades. Los niños pueden formar grupos físicamente, repartirlos, construir arreglos que se repiten, observar relaciones y extraer conclusiones.
Gracias a distintos tipos de bloques —engranajes, cilindros, plataformas y conectores— los niños no solo comprenden la estructura de las operaciones matemáticas, sino que también se implican en el aprendizaje a muchos niveles: motriz, visual, auditivo y verbal.
Al terminar el trabajo con este capítulo, el alumno:
- Comprende la multiplicación como suma reiterada, por ejemplo 3 × 2 es tres veces dos.
- Comprende la división como el reparto de un todo en partes o grupos iguales.
- Construye modelos de operaciones de multiplicación y división con bloques.
- Realiza operaciones sencillas de multiplicación y división de memoria o con ayuda de materiales concretos.
- Escribe las operaciones con símbolos matemáticos: ×, ÷, =.
- Resuelve problemas verbales sencillos en los que usa la multiplicación o la división.
- Compara resultados de operaciones, analizando cuáles son mayores o menores.
- Aplica operaciones inversas (multiplicación—división) y percibe la relación entre ellas.
- Completa los elementos que faltan en una operación (por ejemplo, _ × 3 = 12; 16 ÷ _ = 4).
- Aplica la división con resto y sabe representarla con materiales concretos.
Introducción a la multiplicación
Objetivo didactico
Comprender el concepto de multiplicación.
Elementos necesarios
- Bloques
- Fichas de trabajo con operaciones
Desarrollo
El maestro construye tres torres idénticas, cada una con dos engranajes. Pide a un alumno que diga cuántas torres hay y luego que anote la cantidad en la pizarra. Pide a otro alumno que cuente cuántos engranajes hay en una torre y lo anote en la pizarra. El maestro dice que tiene tres torres iguales, que en cada torre hay dos engranajes, y pregunta cuántos engranajes hay en todas las torres. Escribe la operación 3×2=6. Explica qué significa el signo de multiplicar.
El maestro da otro ejemplo (por ejemplo, 4×3=12), subrayando que las torres son iguales.
El maestro divide a los niños en grupos; cada pareja recibe un set de bloques y fichas de trabajo con operaciones para resolver. Los niños construyen torres y resuelven las tareas.
Juegos de multiplicación en plataformas
Objetivo didactico
Afianzar la multiplicación mediante la suma.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro construye con plataformas un tablero 8×8. Luego coloca en la primera fila tres engranajes y pregunta a un alumno cuántos engranajes hay en el tablero; escribe la operación en la pizarra (tres engranajes en la fila 1×3=3). Luego quita los engranajes y coloca cuatro en la primera fila y cuatro en la segunda, diciendo: en la primera fila tenemos cuatro engranajes y añadimos una segunda fila con la misma cantidad, es decir, dos filas de cuatro engranajes, 2×4=8. El maestro muestra otros dos ejemplos (por ejemplo, 5×4=20 y 8×3=24).
El maestro divide a los niños en equipos de cuatro; cada equipo recibe fichas de trabajo. Los niños construyen un tablero 8×8 y numeran filas y columnas. Resuelven las tareas colocando en el tablero las cantidades adecuadas de engranajes en filas y columnas, según la escritura de la operación.
Cambio de torres
Objetivo didactico
Comprender la propiedad conmutativa de los factores en la multiplicación.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro construye tres torres de dos engranajes: la primera de engranajes rojos, la segunda de azules, la tercera de amarillos. Pregunta cuántas torres hay, cuántos engranajes hay en cada torre y cómo escribiremos la ecuación. El niño escribe la ecuación en la pizarra (3×2=6). Luego el maestro reconstruye las torres de modo que queden dos torres iguales de tres engranajes, cada engranaje de un color distinto. Muestra las torres a los niños y pide que comprueben si la cantidad de engranajes no ha cambiado. Explica que de tres torres ha construido dos, pero con los mismos engranajes, así que 2×3=6. El maestro da otros dos ejemplos sencillos que explican la conmutatividad de los factores.
El maestro divide a los niños en parejas; cada pareja recibe un set de bloques y fichas de trabajo con operaciones. Los niños construyen y reconstruyen torres y resuelven las tareas.
Cambio de columnas y filas
Objetivo didactico
Comprender la propiedad conmutativa de los factores en la multiplicación.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro construye un tablero 8×8, coloca cinco engranajes en la primera, segunda y tercera fila, pide a un niño que cuente los engranajes y escriba la operación (3×5=15). Luego quita los engranajes y los coloca de cinco en cinco en la primera, segunda y tercera columna, pide que cuente y escriba la operación (5×3=15).
El maestro divide a los niños en equipos de cuatro; cada equipo recibe dos sets de bloques y fichas de trabajo. Los niños construyen un tablero 8×8 y numeran filas y columnas. Resuelven las tareas colocando en el tablero las cantidades adecuadas de engranajes en filas y columnas, según la escritura de la operación.
Multiplicación de colores
Objetivo didactico
Practicar la multiplicación con engranajes de colores a los que se asignan valores.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro coloca en la pizarra gráficos de cuatro engranajes, cada uno de un color. A cada engranaje le asigna un valor numérico, por ejemplo:
● engranaje rojo = 3
● engranaje azul = 5
● engranaje violeta = 6
● engranaje amarillo = 7
Luego pide a un alumno que saque un engranaje; él mismo saca el segundo y se lo entrega al alumno en la otra mano; el alumno escribe en la pizarra los valores de ambos engranajes y el resultado de la multiplicación.
El maestro divide a los niños en parejas; cada pareja recibe varios engranajes de distintos colores. Por turnos sacan engranajes, de forma similar a la relación alumno—maestro (un niño toma un engranaje, el otro elige el suyo y se lo entrega al primero); el primer alumno calcula el resultado y se lo dice al segundo, que comprueba si es correcto.
Figuras codificadas
Objetivo didactico
Comprender el concepto de división.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro construye una torre con ocho engranajes. La muestra a los niños y escribe en la pizarra 8; luego divide la torre en dos partes iguales de cuatro engranajes y pregunta en cuántas torres ha dividido la torre grande y cuántos engranajes tiene cada una; escribe en la pizarra la ecuación 8:2=4. Explica el signo «:». Luego vuelve a formar la torre de ocho engranajes, pero esta vez la divide en cuatro torres de dos engranajes cada una. Pide que cuenten las torres y digan de cuántos engranajes se compone cada una; escribe la ecuación 8:4=2.
El maestro divide a los niños en parejas. Dice el número de elementos que deben tomar juntos del recipiente y el número de grupos que deben formar (en cada grupo debe haber los mismos bloques).
Variantes
Los niños se sientan de espaldas y realizan al mismo tiempo las indicaciones del maestro, por ejemplo:
● construye una torre con 6 engranajes y divídela en 3 partes iguales, ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?
● construye una torre con 12 engranajes y divídela en 4 partes iguales, ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?
● construye una torre con 4 cilindros y divídela en 2 partes iguales, ¿cuántos cilindros habrá en cada parte?
● construye una torre con 9 engranajes y divídela en 3 partes iguales, ¿cuántos engranajes habrá en cada parte?
División con resto
Objetivo didactico
Explicar el concepto de resto en las operaciones de división.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro señala una caja en la que hay 22 cilindros y pide a tres alumnos que los repartan entre sí. Los alumnos llegan a la conclusión de que no pueden repartir los bloques a partes iguales. El maestro escribe la operación 22:3 y explica qué significa la división con resto. Luego pide a un alumno que añada tantos cilindros a 22 que se puedan repartir a partes iguales entre tres personas y que escriba la ecuación.
El maestro divide a los niños en parejas; cada pareja recibe una ficha de tareas de división. Con ayuda de los cilindros resuelven las ecuaciones y anotan los resultados con resto y sin resto.
¿Cuál es el divisor?
Objetivo didactico
Ejercicios de división.
Elementos necesarios
Cilindros
Desarrollo
Los niños, en parejas, reciben fichas de trabajo con ecuaciones en las que el divisor se ha sustituido por el gráfico de un engranaje de color. Ayudándose de los cilindros, deben asignar el valor correcto del divisor al color del engranaje del gráfico. El maestro informa de que el divisor es, de otro modo, la información de en cuántos grupos hay que repartir la cantidad total de bloques.
Conmutatividad de la multiplicación y la división
Objetivo didactico
Comprender la relación entre multiplicación y división.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El maestro tiene preparada una torre de doce engranajes, la coloca en una plataforma y escribe en la pizarra la ecuación 12:4=3 (pide a un alumno el resultado). Divide la torre en cuatro partes y pide a un alumno que diga cuántas torres ve y de cuántos engranajes se componen. Escribe en la pizarra la ecuación 4×3 y pide que diga cuántos engranajes hay en total; escribe 12. De forma análoga presenta las operaciones 15:5=3, 5×3=15, etc., y explica que el resultado de la división se puede comprobar mediante la multiplicación.
División construyendo grupos (división entre 4)
Objetivo didactico
La división como creación de grupos iguales.
Elementos necesarios
- Engranajes
- Plataforma
Desarrollo
El alumno recibe 12 engranajes y debe repartirlos a partes iguales en 4 pines de las plataformas. Conclusión: 12 ÷ 4 = 3.
Variantes
Cambio del número de grupos.
División «inexacta»: por ejemplo, 13 ÷ 4 y comentario del resto.
Reparto del equipo
Objetivo didactico
Dividir asignando elementos.
Elementos necesarios
- 12 cilindros
- Papeles con el número de niños del grupo
Desarrollo
El alumno tiene 12 «miembros del equipo» (cilindros). Los reparte, por ejemplo, en 3 equipos de 4 personas. Luego en 4 equipos de 3 personas.
Variantes
Los alumnos comprueban cuántos miembros hay en distintos deportes de equipo (por ejemplo, fútbol, voleibol, baloncesto, fútbol sala, rugby, etc.), eligen tantos bloques como miembros tiene el equipo y comprueban si se pueden dividir esos equipos en varios grupos.
Autómata multiplicador de engranajes
Objetivo didactico
Reforzar el automatismo de las tablas de multiplicar.
Elementos necesarios
- Engranajes
- Plataforma como máquina (5 plataformas colocadas una junto a otra)
Desarrollo
Trabajo en parejas / grupos. El grupo elige un número (por ejemplo, 5) y construye un «autómata» con 5 engranajes que giran en fila. Luego coloca 3 más en cada engranaje: 5 × 3 = 15. Cuenta la cantidad de bloques.
Variantes
Juego por equipos: quién «produce» más rápido el resultado de la operación indicada por el maestro.
Construir según la operación
Objetivo didactico
Crear modelos matemáticos.
Elementos necesarios
Bloques
Desarrollo
El alumno saca un papel con una operación (por ejemplo, 6 ÷ 2). Debe construir una estructura con 6 elementos y dividirla a partes iguales en 2 partes.
Variantes
Añadir una descripción oral: «La construcción tiene 6 partes, cada grupo tiene...».
Inventar operaciones para las propias construcciones.
Juego «¿Quién tiene más?»
Objetivo didactico
Comparar resultados de operaciones de multiplicación y división.
Elementos necesarios
- Sets de bloques
- Papeles con operaciones
Desarrollo
Los niños, en parejas, sacan operaciones, las realizan con bloques y comparan el resultado: ¿quién tiene más?
Ecuaciones de bloques
Objetivo didactico
Completar los datos que faltan en una operación.
Elementos necesarios
- Engranajes
- Papeles, por ejemplo _ × 4 = 16
Desarrollo
El alumno intenta, construyendo, encontrar el valor que falta: por ejemplo, coloca 4 bloques en grupos hasta llegar a 16.
Variantes
Completar la división: 24 ÷ _ = 6.
Juego por equipos: adivina qué falta. Un grupo muestra la operación en una tarjeta y lo que ha construido. La tarea del otro grupo es descubrir qué falta (por ejemplo, toda una torre o engranajes en las torres); por ejemplo, el grupo tiene la operación 5*4=20 y con bloques se han construido cinco torres de tres bloques.